不是每个程序员天生对递归理解深刻,刚入大一时候,当别人写出第一个求最大公约数的递归函数时,对其多么的惊叹,竟然可以不用循环,竟然代码可以这么简洁,确实递归在大多数情况下实现时候代码很短,大部分人也知道递归,也能基本看懂递归,可是却经常不知道怎么写,或者写出来的递归经常死循环,写算法往往也是学的是套路,只有极少数人是创造算法的,大部分人是用算法的,而递归是确实有套路可循的。
本文即从递归的扎马步开始,从几个简单例子到通用套路,一步一步拆解递归
1 递归的三要素
写递归,就是写三要素的实现,三要素分别为函数,边界,递推公式,刚开始只要记住要这么写,写几个算法之后,就能慢慢明白为什么要这样搞。
1.1 递归首要元素-函数
明确你的函数是干什么用的,函数的入参应该是什么,返回值是什么,这三个问题,先从函数是干什么用的开始,你可以定义一个函数f()
假设已经实现了每一步递归的实现,再去明确这个实现 到底做了什么,入参至少要什么,返回值和参数返回可以理解为是一个东西,都是为了返回给上层调用或者全局的一个数据,想清楚函数的三个要素,那你的函数就定义好了。
1.2 递归边界、跳出递归
同样,先这样去做,再去想为什么,这一步要判断的就是函数的入参,入参的null
,入参为初始值,比如斐波那契数列的前1位或者2位,开始时候可能不一定想的完全,那没关系,下面的一步还会继续完善,所以我这里举得例子是斐波那契的前1或2位,而不是直接说结论,这一步骤是在函数的实现里面,所以考虑方式就是假设,入参到了临界值或者初始值,或者特殊值,你要判断一下,第一遍写的时候比如斐波那契,可以直接这么写
if (n == 1)
return 1;
if (n == 2)
return 1;
想到的不一定完全对,或者那么地很优雅, 没关系,只要想到要考虑边界就可以了。下面就是想边界的意义是什么?有两点,其一,异常值边界,其二递归结束判断,比如此题中的n < 0 怎么办,和 n == 1
和 n == 2
就分别对应前面说的,当然这两点可能考虑不那么完全,假设你只考虑了像前面代码中的,或者写边界时候发现写的多了,或者冗余了,这样不影响程序的结果,那么写完递推公式,我们再来回顾边界问题。
1.3 递推公式
这个就要先谈意义,再谈实现了,意义在于逐渐减少算法的规模,或者定义一种方式让输入的值尽可能地靠近临界值,也就是找一个关系f(n)
与f(n-x)
序列的关系,f(n)
代表要解决的问题规模,f(n-x)
比n小的问题规模的函数值,这是递归函数中的关键一步,没有递推公式,就没有递归。例如斐波那契序列,中的递推公式是f(n)=f(n-1) + f(n-2)
我们来观察这个公式,发现其第n
于 n-1
和 n-2
有关系,所以我们来看,如果输入任何整数,那么n-1,n-2
可能取值是负数,0
,1+
,可以看到边界0
和负数没有考虑在内,所以,这时回顾前面1.2 的递归,我们来补充一下边界后得到:
if (n <= 2)
return 1;
2 递归的案例
下面通过三个简单例子,我们来练习使用递归,分别是青蛙跳台阶问题,等同于斐波那契序列,递归方式反转单链表,递归遍历树,以及针对三个
2.1 青蛙跳台阶问题
第一定义函数,明确函数只有一个唯一的输入值n
,第二找到递归结束条件或者递归边界,可以发现当台阶是1或者2时候最容易得到,至于递推式,可以发现青蛙在每次跳的时候有两种跳法,那青蛙怎么到达第n
个台阶,就是有两种跳法,分别对应f(n-1)
和 f(n-2)
,所以递归式就是f(n)=f(n-1)+f(n-2)
,那么整个算法就是如下:
//一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
//1。定义函数
public int f2(int n) {
//2.确定边界
if (n == 1)
return 1;
if (n == 2)
return 2;
//3.确定递归式
return f2(n-1) + f2(n-2);
}
继续检查边界,发现n如果小于1,就会陷入死循环,那么程序可以改成这样:
if (n == 1)
return 1;
if (n == 2)
return 2;
if (n < 1)
return 0;
//当然简单写,可以这样搞
if (n < 1)
return 0;
if (n <= 2)
return n;
2.2 递归方式反转单链表
单链表的反转,一般考虑到是双指针反转,当然递归写也可以,同样,首先定义函数,发现函数只有一个入参即节点node
这个node
在根节点或者任意中间节点都适用,其二确定边界,在反转单链表时候,可能会漏了node.next
的边界,此时两种方式,1,冗余写,只要你考虑到了,这可能是边界,你多写了绝对不会错,甚至,你可以多写两到三步也完全没问题,2,少写的话,就写完递归方式再来检查,比如反转单链表这个题,你会看到如果node.next
为空,那么node.next.next
就会报空指针问题,一般写完递归式后最好回头检查一下边界,可以查缺补漏,去冗余或者补条件。
此题的核心点是解开链的递归式,就是
Node last = f3(node.next); //假设当前节点的下一节点后的链表已经反转
node.next.next = node; //当前节点指向的节点指向当前节点
node.next = null ;//原来当前节点是指向下一节点的,解开当前节点,并把节点指向空
//此处解释,为什么指向空,首先可以将node节点理解为第一个节点,那么第一节点反转后,就是最后一个节点,则指向是null,否则它还是指向2,就有问题哟
//那么如果不是第一个节点呢?这个指针是怎么指向的
举个例子,假设,单链表是1,2,3,4,5
那么递归的过程如下图:
![](https://pic1.zhimg.com/80/v2-00c77d65588ea030a6300bc386432748_1440w.webp)
看图,可以发现每一步的当前节点,放入反转链表后,都是最后一个,那它必然指向null
这样懂了把!
class Node{
int data;
Node next;
}
public Node f3(Node node) {
//2.确定返回边界
if (node == null || node.next == null)
return node;
//3.拿到递归推导
Node last = f3(node.next);
node.next.next = node;
node.next = null ;//这个的作用是什么?,解开死循环,最后是有A->B,B->A
return last;
}
2.3 递归遍历树
递归遍历树也是最简单的,假设你之前没有看过遍历的代码,那么从零来开始考虑这个问题,首先定义函数,确认入参和单链表反转类似,只需要一个TreeNode
节点,然后考虑边界为null
,和不为null
,你首先想到是不是这样?
if (node == null)
return ;
if (node.left == null && node.right == null) {
System.out.pritln(node.val);
return ;
}
现在看起来是有点冗余,但是假设你并不知道,那么接下来下递归式,以先序为例
//首先节点本身
System.out.println(node.val);
//然后节点左
preOrder(node.left);
//然后节点右
preOrder(node.right);
就这样完了,然后回顾前面的边界问题,只有上面的代码两行,可以看到在节点为null
的时候,就直接return
了,不用考虑子节点,字节点的边界在父节点的边界中已经考虑到了,当然写了这条边界完全不影响程序运行哦,所以最终的前中后序遍历如下代码:
//二叉树前序遍历
public static void preOrder(TreeNode node) {
if (node == null)
return;
System.out.println(node.val);
preOrder(node.left);
preOrder(node.right);
}
//二叉树中序遍历
public static void inOrder(TreeNode node) {
if (node == null)
return;
preOrder(node.left);
System.out.println(node.val);
preOrder(node.right);
}
//二叉树后序遍历
public static void postOrder(TreeNode node) {
if (node == null)
return;
preOrder(node.left);
preOrder(node.right);
System.out.println(node.val);
}
2.4 通过一个序列构造二叉树
下面,我们补一个递归算法题,输入一个二叉树序列,来还原构造二叉树,顺便测试一下前面的遍历树的代码,同样熟悉了递归的套路后,我们直接来写代码
//1.定义函数确认,只需要一个参数,即剩余序列
public static TreeNode createBinaryTree(LinkedList<Integer> inputList) {
//定义一个空的树节点,此处为了整齐划一,在边界和递归体里面都可以用,所以写在第一行
TreeNode node = null;
//2.边界
if (inputList == null || inputList.isEmpty())
return node;
//3.主要递归体,从链表中删除并取第一个元素,构建好左右节点,最后返回当前节点
Integer data = inputList.removeFirst();
//data,主要是异常值判断,前面已经判断过链表为空了
if (data != null) {
node = new TreeNode(data);
node.left = createBinaryTree(inputList);
node.right = createBinaryTree(inputList);
}
return node;
}
public static void main(String[] args) {
//前序遍历序列
LinkedList<Integer> inputList = new LinkedList<Integer>(Arrays.asList(new Integer[]{3,2,9,null,null,10,null,null,8,null,4}));
TreeNode node = createBinaryTree(inputList);
//前序遍历
System.out.println("前序遍历:");
preOrder(node);
}
3. 总结
如何写好递归,就三步,首先确认函数的输入值,返回值,即函数本身要做什么功能。其次,判断边界,将可以想到的边界都写一下。最后写递归体,包括函数返回值,然后回去检查边界,对边界增删改查。
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