【算法学习笔记】04 最近公共祖先LCA

原理

顾名思义，就是求两点的最近公共祖先（自己也是自己的祖先）。
也就是两点在走到根节点的路径上最先遇到的共同的点。

向上标记法

比较贴定义的原始方法。
一点先向 \(root\) 走，走过的点标记一下；然后另一点也往 \(root\) 走，走到的第一个被标记的点为二者的 \(LCA\)。时间复杂度为 \(O(n)\)

倍增法

1. 首先需要记录两个变量

1. \(f(i, j)\)

表示从 \(i\) 开始，向上走 \(2^j\) 步能到达的节点，\(0\leq j\leq logn\)
那么怎么更新？

1. \(j=0\), \(f(i,j)\) 为 \(i\) 的父节点
2. \(j>0\), \(f(i,j)=f(f_(i,j-1),j-1)\)，相当于跳了两个 \(2^{j-1}\)
   这一过程可用 \(bfs/dfs\) 求

2. \(depth(i)\)

表示 \(i\) 的深度

哨兵

\(depth(0)=0\)
如果从 \(i\) 开始跳 \(2^j\) 步会跳过根节点，那么 \(f(i,j)=0\)。

2. 将两点跳到同一层

具体操作如下：
相当于用我们之前处理好的二进制数来拼凑 \(dx = |depth(x)-depth(y)|\)，即从后往前找到第一个满足 \(2^k \leq dx\) 的 \(k\), 然后令 \(dx -= 2^k\), 重复这个找的过程，直至 \(dx=0\)。
找的过程不用算具体值，只需判断是否满足 \(depth(f(x,k))\geq depth(y)\)即可。

3. 让两个点一直往上跳，直到跳到 \(LCA\) 的下一层（儿子那层）

为什么要到下一层？
因为到本层(\(LCA\))时无法判断是否为 \(LCA\)，为避免歧义才到下一层。
跳的过程也是二进制拼凑，从大到小枚举 \(k\), 直至 \(f(a,k)=f(b,k)\), 此时到了点\(x, y\)，在往上一层，也就是他们的父亲就是 \(LCA\)，即 \(LCA=f(x,0)=f(y,0)\)。

板子

先贴一个y总的板子来吓吓我的vsc,明天来自己写一遍

void bfs(int root)
{
    memset(depth, 0x3f, sizeof depth);
    depth[0] = 0, depth[root] = 1;
    int hh = 0, tt = 0;
    q[0] = root;
    while (hh <= tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (depth[j] > depth[t] + 1)
            {
                depth[j] = depth[t] + 1;
                q[ ++ tt] = j;
                fa[j][0] = t;
                for (int k = 1; k <= 15; k ++ )
                    fa[j][k] = fa[fa[j][k - 1]][k - 1];
            }
        }
    }
}

int lca(int a, int b)
{
    if (depth[a] < depth[b]) swap(a, b);
    for (int k = 15; k >= 0; k -- )
        if (depth[fa[a][k]] >= depth[b])
            a = fa[a][k];
    if (a == b) return a;
    for (int k = 15; k >= 0; k -- )
        if (fa[a][k] != fa[b][k])
        {
            a = fa[a][k];
            b = fa[b][k];
        }
    return fa[a][0];
}

离线的做法也没学
还没写题呢，明天一定（