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数数论论

时间:2024-07-10 21:41:59浏览次数:1  
标签:剩余 运算 数论 定理 varphi 证明 equiv

被 ymh 的数学课干爆了


模运算

整数意义下的模运算

对于 \(n_1,n_2\),我们称其在模 \(p\) 意义下相等当且仅当对于 \(n_1=k_1p+r_1\),\(n_2=k_2p+r_2\),其中 \(k_1,k_2,r_1,r_2\) 为整数,\(0\le r_1,r_2<p\),满足 \(r_1=r_2\)。整数在模 \(p\) 意义下的结果指的是最小与其相等的自然数。

有理数意义下的模运算

当运算对象为整数时,运算规则应与整数意义下的模运算相同。

可以肯定,满足上面要求的有理数意义下的模运算是存在的,只不过无法写出其的定义。

实数意义下的模运算

与有理数意义下同理。

模运算与除法

不难发现,加减乘在模运算下都有十分良好的性质。下面研究除法下的性质。

如果我们能求出 \(ax\equiv 1\) 的整数解,就可以说明 \(a^{-1}\equiv x\) 了。

剩余系

类似线性基的定义,模 \(p\) 意义下的完全剩余系是一个大小为 \(p\) 的集合,对于集合中任意两个数 \(r_1,r_2\) 都不满足 \(r_1\equiv r_2(\bmod p)\)。

既约剩余系(简化剩余系)是完全剩余系的一个子集,对于其中任意 \(r_1\),满足 \((p,r1)=1\)。

性质

若 \(\{r_0,r_1,\cdots,r_{p-1}\}\) 是 \(p\) 的一个完全剩余系,则对于 \((a,p)=1\),满足 \(\{ar_0,ar_1,\cdots,ar_{p-1}\}\) 是 \(p\) 的一个完全剩余系。

既约剩余系有着完全一致的性质。

威尔逊定理

对于质数 \(p\),满足 \((p-1)!\equiv -1(\bmod p)\)。该定理可逆。

证明待补。

费马小定理

对于质数 \(p\) 和 \((a,p)=1\),满足 \(a^{p-1}\equiv 1(\bmod p)\)。

证明

构造 \(p\) 的一个不完全剩余系 \(A=\{1,2,\cdots,p-1\}\),相应的得到 \(B=\{a,2a,\cdots,(p-1)a\}\),这也是 \(p\) 的一个不完全剩余系。

得到 \(\prod A\equiv\prod B\)。即 \((p-1)!\equiv a^{p-1}(p-1)!\),根据威尔逊定理,\(1\equiv a^{p-1}\)。

得证。

考虑费马小定理的两个限制,\(p\) 是质数保证了使用威尔逊定理的正确性,\((a,p)=1\) 保证构造完全剩余系的正确性。

欧拉函数

欧拉函数 \(\varphi(m)=\sum\limits_{i=1}^m[(i,m)=1]\)。

性质

case1

欧拉函数是积性函数。

证明:剩余系的复合

称 \(Z_m\) 为模 \(m\) 的完全剩余系,\(Z^{*}_m\) 为模 \(m\) 的既约剩余系。

####### 完全剩余系的复合

对于 \((m_1,m_2)=1\),令 \(m=m_1m_2\),则 \(Z_m=m_2Z_{m1}+m_1Z_{m2}\),即对于每一对数 \((x,y)\) 满足 \(x\in Z_{m1}\) 且 \(y\in Z_{m2}\),都有 \(m_1x+m_2y\in Z_m\)。同时该条件可逆。

证明待补。

####### 既约剩余系的复合

内容与完全剩余系的复合完全一致。

考虑和欧拉函数的关联,显然 \(\varphi(m)\) 就是 \(m\) 的既约剩余系的大小。因此本条结论等价于欧拉函数是积性函数。

######## 证明

令 \(m\) 的既约剩余系 \(M\) 是 \(Z_m\) 的一个子集。要求证明 \(Z^{*}_m=M\)。

分别证明充分性和必要性即可。

case2

\(n=\sum\limits_{d|n}\varphi(d)\)。

证明等学会酷炫反演魔术后再来证。

case3

令 \(p\) 是将 \(n\) 唯一分解后的质数集合,则 \(\varphi(n)=n\times\prod\limits_{i=1}^s\dfrac{p_i-1}{p_i}\)。

证明待补。

欧拉定理

对于 \((a,p)=1\),满足 \(a^{\varphi(p)}\equiv 1(\bmod p)\)。

证明

几乎与费马小定理完全相同的套路,但是此时 \(p\) 不一定是质数,因此我们需要避开 \((p-1)!\),选择将费马小定理证明中的完全剩余系改为既约剩余系。然后利用模运算的性质进行化简即可。

扩展欧拉定理

你先别急,让我先急。

\[a^b\equiv\begin{equation} \left\{ a^{b\bmod\varphi(m)}, \right. \end{equation}\]

标签:剩余,运算,数论,定理,varphi,证明,equiv
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