基于斑马算法优化的核极限学习机(KELM)回归预测
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摘要：本文利用斑马算法对核极限学习机(KELM)进行优化，并用于回归预测.
1.KELM理论基础
核极限学习机（Kernel Based Extreme Learning Machine，KELM）是基于极限学习机（Extreme Learning Machine，ELM）并结合核函数所提出的改进算法，KELM 能够在保留 ELM 优点的基础上提高模型的预测性能。
ELM 是一种单隐含层前馈神经网络，其学习目标函数F(x) 可用矩阵表示为:
F
(
x
)
=
h
(
x
)
×
β
=
H
×
β
=
L
(9)
F(x)=h(x)\times \beta=H\times\beta=L \tag{9}
F(x)=h(x)×β=H×β=L(9)
式中：
x
x
x 为输入向量，
h
(
x
)
h(x)
h(x)、
H
H
H 为隐层节点输出，
β
β
β 为输出权重，
L
L
L 为期望输出。
将网络训练变为线性系统求解的问题，
β
\beta
β根据
β
=
H
∗
⋅
L
β=H * ·L
β=H∗⋅L 确定，其中，
H
∗
H^*
H∗ 为
H
H
H 的广义逆矩阵。为增强神经网络的稳定性，引入正则化系数
C
C
C 和单位矩阵
I
I
I，则输出权值的最小二乘解为
β
=
H
T
(
H
H
T
+
I
c
)
−
1
L
(10)
\beta = H^T(HH^T+\frac{I}{c})^{-1}L\tag{10}
β=HT(HHT+cI)−1L(10)
引入核函数到 ELM 中，核矩阵为：
Ω
E
L
M
=
H
H
T
=
h
(
x
i
)
h
(
x
j
)
=
K
(
x
i
,
x
j
)
(11)
\Omega_{ELM}=HH^T=h(x_i)h(x_j)=K(x_i,x_j)\tag{11}
ΩELM=HHT=h(xi)h(xj)=K(xi,xj)(11)
式中：
x
i
x_i
xi ，
x
j
x_j
xj 为试验输入向量，则可将式（9）表达为：
F
(
x
)
=
[
K
(
x
,
x
1
)
;
.
.
.
;
K
(
x
,
x
n
)
]
(
I
C
+
Ω
E
L
M
)
−
1
L
(12)
F(x)=[K(x,x_1);...;K(x,x_n)](\frac{I}{C}+\Omega_{ELM})^{-1}L \tag{12}
F(x)=[K(x,x1);...;K(x,xn)](CI+ΩELM)−1L(12)
式中：
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
(x_1 , x_2 , …, x_n )
(x1,x2,…,xn) 为给定训练样本，
n
n
n 为样本数量.
K
(
)
K()
K()为核函数。
正则化系数 C 和核函数参数 S 需要人为设定，两者的设定将对 KELM的预测性能具有一定影响。
2.回归问题数据处理
采用随机法产生训练集和测试集，其中训练集包含 1 900 个样 本，测试集包含 100 个样本。为了减少变量差异较大对模型性能的影响，在建立模型之前先对数据进行归一化。选取核函数为rbf 高斯核函数，利用斑马算法对正则化系数 C 和核函数参数 S 选取进行优化。
4.基于斑马算法优化的KELM
斑马算法原理请参考：https://blog.csdn.net/u011835903/article/details/130565746
由前文可知，本文利用斑马算法对正则化系数 C 和核函数参数 S 进行优化。适应度函数设计为训练集的误差的MSE：
f
i
t
n
e
s
s
=
a
r
g
m
i
n
(
M
S
E
p
r
i
d
e
c
t
)
fitness = argmin(MSE_{pridect})
fitness=argmin(MSEpridect)
适应度函数选取训练后的MSE误差。MSE误差越小表明预测的数据与原始数据重合度越高。最终优化的输出为最佳正则化系数 C 和核函数参数 S。然后利用最佳正则化系数 C 和核函数参数 S训练后的网络对测试数据集进行测试。
5.测试结果
可以看出无论是在测试集和训练集上斑马优化的KELM结果均更优。